扩列群是什么意思(什么是扩列群)

扩列群是有关计算与数学领域的一个概念，它其实是群的一种扩充形式。群这个概念相信对于数学领域的同学来说应该不会陌生，直接简单的说就是一个集合和一个操作，符合一定的条件就可以称为一个群。

扩列群本质上要解决的问题就是关于同胚问题，也就是如何判断两个群之间是否存在同胚。同胚这个概念可以简单的理解为一个“映射”，使得两个群上的运算在这个“映射”下保持不变。

在这里就有一个问题：如何定义一个两个群上的运算相同？这个问题涉及到一个技术概念，称为“同构关系”。而扩列群就是一种判定同构关系的方法。下面我们一一来说明。

对于一个群G（S, *）和H(T, °)，如果我们能找到一个一一对应的函数f:S→T，并满足：

1. 对于一切的x、y∈S，都有f(x * y) = f(x) ° f(y)
2. f(单位元) = 单位元
3. f(每个元素x的逆元) = 每个元素x的逆元

就可以称这两个群相同，也就是存在同构关系。这个时候我们就可以使用扩列群来进行判断。

扩列群本质上就是将一个群扩充为一个含有更多元素的群。其实就是在原有的群上添加了新的元素。首先要了解的是扩列群有两种类型：一种是外部扩列群，另一种则是内部扩列群。

外部扩列群很容易理解，它就是在原有群的基础上添加新的元素。举个例子：假设一个群G（S, *）和集合B，那么G+B（S∪B, *）就是一个外部扩列群。（S∪B为集合的并集，*是原群的运算）。

内部扩列群则是基于原有群上的一个“副产品”。在原有群中，我们可以定义一个子集S，然后构成子群G'（S, *）。接下来就可以描叙内部扩列群的概念了，假设G（S, *）是一个群，H(T, °)是一个群，我们需要定义一个映射φ：S→H，使得对于x、y∈S，有：

1.φ(xy) = φ(x)·φ(y)；

2.对于每个x∈S，都有φ(x)和φ(x)的逆元作为外部群的元素。

这样就形成了一个内部扩列群（简称“扩列子群”）({φ(G), °})，其中φ(G)是原群G的所有元素在H中的映像，°是在H中的群运算。

根据概念的描叙，我们可以得到以下的结论：对于一个内部扩列群({φ(G), °)，如果φ是一个单射，则它能够判定G和φ(G)之间存在同构关系。这个结论是扩列群应用于同构问题的基础。

综上所述，扩列群的概念可以表述为：对于群之间的同构问题，可以通过扩列群的方法，将两个群扩展为更大的集合，然后使用同构关系进行判断。扩列群基于群的数量意义，将同构问题转化为子群与任意群之间的关系问题。

扩列群问题的研究发展在很大程度上缺乏足够的系统性。因此，对扩列群问题的系统研究成为了数学领域的前沿热点研究领域之一。当然，扩列群除了在数学领域有着重要的应用之外，在计算机科学、密码学、物理学等学科领域也都有着广泛的应用价值。它的应用范围广泛，性质复杂，具有重要的理论和实际意义，是一个不断发展的领域。