怎么求函数单调性-如何判断函数的单调性

求函数单调性是高中数学中重要的一个概念，通常出现在函数的性质分析中。在函数图像的绘制和解决问题中，了解函数的单调性会为我们提供重要的参考。本文将介绍如何求函数的单调性。

一、定义

首先，我们来回顾一下函数的定义：函数是一种数学关系，它将一个数集的每个元素映射到另一个数集中唯一的元素。对于一个函数$f(x)$，当$x_1f(x_2)$，我们就说函数$f(x)$在区间$(x_1,x_2)$上是单调递减的。而当函数在一个区间上既不单调递增也不单调递减时，我们称函数在该区间上是无单调性的。

二、求导法

求导法是求函数单调性最主要的方法之一，其核心思想是通过计算函数的导数来判断函数在各个区间上的单调性。具体来说，首先求出函数的导函数（或导数），然后找到导函数的零点，即导数为0的$x$值，如果函数在该点左侧的导函数值为正，右侧的导函数值为负，则表明该点是函数的一个峰值点，即在该点上函数单调递增；反之，如果函数在该点左侧的导函数值为负，右侧的导函数值为正，则表明该点是函数的一个谷值点，即在该点上函数单调递减。

具体的操作流程如下：

• 求出函数的一阶导函数或导数$f'(x)$；
• 找到导数$f'(x)$的所有零点；
• 在每个零点$x$处，判断$f'(x)$的符号，如果左侧为正右侧为负，则函数在该点单调递增，如果左侧为负右侧为正，则函数在该点单调递减。

需要注意的是，函数的导数零点只是函数的一个局部极值点。如果一个函数在一个区间内没有局部极值点，我们还需要分别计算这个区间的左端点和右端点处的导数符号来判断单调性。如果两个符号相等，则表明该区间没有单调性；如果两个符号相反，则表明函数在该区间上具有单调性。

三、二分法

如果函数的解析式比较复杂，或者求导比较困难，我们可以尝试使用二分法来判断函数的单调性。具体来说，二分法可以帮助我们找到函数在某一区间上的单调性变化点，然后通过判断函数的值的大小来判断单调性。

具体的操作流程如下：

• 选取函数定义域内一个区间$[a,b]$，并计算函数在该区间内的中点$c=\frac{a+b}{2}$；
• 比较函数在左右两个子区间$[a,c]$和$[c,b]$上的取值，如果函数在左区间上的值始终小于右区间，则函数在$[a,c]$上单调递增，否则函数在$[a,c]$上无单调性；
• 对于上一步中未确定的区间，继续使用二分法递归上述步骤，最终得到函数单调性的确定结果。

需要注意的是，二分法并不一定能够得到函数的单调性，因为如果函数在某个区间上没有单调性，二分法将无法得到确定的结果。此外，二分法虽然不需要对函数求导，但是它需要对函数的值进行多次计算，因此效率可能不如求导法。

四、绘制函数图像

在实际应用中，我们通常会通过绘制函数图像来判断函数的单调性。具体来说，我们可以根据函数的解析式或表格，利用函数图像的基本性质来大致判断函数的单调性，例如：

• 在单调递增的区间内，函数的图像上升，而在单调递减的区间内，函数的图像下降；
• 在函数的极值点处，函数图像的曲率发生变化。

需要注意的是，通过绘制函数图像判断函数单调性只能得到大致的结论，而不能确定具体的单调性变化点和区间。此外，绘制函数图像需要一定的图形分析技巧和经验，因此不适合用于考试等严格场合。

五、和其他函数比较

当我们遇到一个比较复杂的函数时，我们可以通过将其与一些简单函数进行比较来大致判断其单调性。例如：

• 如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$在一个区间内恒大于某个正常数$a$，则函数$f(x)$在该区间上单调递增。
• 如果函数$f(x)$与某单调递增函数$g(x)$的和、积或复合，且$g(x)$在该区间上无零点，则函数$f(x)$在该区间上具有相同的单调性。

通过与其他函数的比较，我们可以快速判断函数的单调性，尤其适合于没有解析式的函数。

六、总结

求函数单调性是高中数学中的重要内容之一，对于理解函数的性质和应用具有重要意义。本文介绍了几种常见的求函数单调性的方法，包括求导法、二分法、绘制函数图像和与其他函数比较。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的方法来求解。需要注意的是，不同的方法有不同的适用范围和缺点，因此需要在实践中注意并综合使用它们。