勾股定理的证明方法

admin 2023-03-04 16:15 阅读数 #时尚美容

勾股定理是什么意思

简介：

勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性，勾股数组程a² + b² = c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。当整数a,b,c满足a²+b²=c²这个条件时，（a,b,c）叫做勾股数组。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。”常见勾股数有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）。

勾股定理是一个基本的几何定理，直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c² 。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组成a²+b²=c²的正整数组（a,b,c）。（3,4,5）就是勾股数。

勾股定理的证明方法：

加菲尔德证法

加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

“总统证法”示意图

加菲尔德证法变式

该证明为加菲尔德证法的变式。

如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。

大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:

勾股定理的应用方法：

小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如下图，根据勾股定理，则a2+b2=c2．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．(下图备用)

答案: 解：①当三角形是锐角三角形时，

证明：作AD⊥BC垂足是D，设CD的长为x，

根据勾股定理得：b2-x2=AD2=c2-（a-x）2

整理得：a2+b2=c2+2ax

∵2ax＞0

∴a2+b2＞c2

②当三角形为钝角三角形时

证明：过B点作AC的垂线交AC于D点，设CD的长为y

在直角三角形ABD中，AD2=c2-（a+y）2

在直角三角形ADC中，AD2=b2-y2，

∴b2-y2=c2-（a+y）2

整理得：a2+b2=c2-2ay

∵2ay＞0，∴a2+b2＜c2．

勾股定理的证明方法

所以：①在锐角三角形中，a2+b2＞c2．

②在钝角三角形中，a2+b2＜c2．

解析: 根据题意要分锐角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股定理作出证明．

勾股定理知识

勾股定理指的是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。那么你对勾股定理了解多少呢?以下是由我整理关于勾股定理知识的内容，希望大家喜欢!

勾股定理定义

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：

勾股定理是余弦定理中的一个特例。

勾股定理的推广

勾股数组

勾股数组是满足勾股定理的正整数组，其中的称为勾股数。例如就是一组勾股数组。

任意一组勾股数可以表示为如下形式：其中均为正整数且。

定理用途

已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。

勾股定理意义

1、勾股定理的证明是论证几何的发端;

2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理;

3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解;

4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理;

5、勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值、这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用、1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。

勾股定理的发展简史

中国

公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时，径隅(弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。

公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。

在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。

外国

在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。

公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。

公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》(第Ⅰ卷，命题47)中给出一个证明。

1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。

什么是勾股定理？

勾股定理：指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

拓展资料

勾股定理的定义：

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a²+b²=c²。

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

参考资料：百度百科勾股定理

什么是勾股定理？怎么算，请举个例子说明

勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

（如下图所示，即a² + b² = c²）

例子：

以上图的直角三角形为例，a的边长为3，b的边长为4，则我们可以利用勾股定理计算出c的边长。

由勾股定理得，a + b = c → 3 +4 = c

即，9 + 16 = 25 = c²

c = √25 = 5

所以我们可以利用勾股定理计算出c的边长为5。

勾股定理的逆定理：

勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边:

如果a² + b² = c² ，则△ABC是直角三角形。

如果a² + b² c² ，则△ABC是锐角三角形（若无先前条件AB=c为最长边，则该式的成立仅满足∠C是锐角）。

如果a² + b² c² ，则△ABC是钝角三角形。

勾股定理的定义，具体的

定理：

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a^2+b^2=c^2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。古埃及人利用打结作RT三角形。

如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=X×X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理的来源：

毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

常用勾股数3 4 5;6 8 10;5 12 13;8 15 17